Controllo di velocità di un motore in corrente continua (parte 2)

La seconda parte dell'articolo "Controllo di velocità di un motore in corrente continua".

Vedi la prima parte dell’articolo.

Dopo il primo articolo dedicato al controllo di velocità di un motore in corrente continua, in questa seconda parte vedremo con un certo grado di dettaglio il dimensionamento dei blocchi che compongono la funzione di trasferimento vista nella precedente analisi.

Per comodità, riprendiamo qui sotto lo schema a blocchi già visto:

Controllo motore cc

ove i simboli utilizzati, sono:

  • VR: tensione di riferimento, proporzionale al valore di velocità che si vuole ottenere;
  • Vf: segnale di retroazione, proporzionale al valore effettivo della velocità;
  • D: segnale differenza, proporzionale al segnale di errore;
  • Vn: tensione di alimentazione del motore;
  • Ω: variabile controllata, ovvero la velocità angolare;
  • Ge(s): funzione di trasferimento dell’amplificatore del segnale D;
  • Ga(s): funzione di trasferimento dell’amplificatore di potenza;
  • Gm(s): funzione di trasferimento del sistema controllato, ovvero del motore a corrente continua. E’ la funzione vista sopra;
  • H(s)=H: funzione di trasferimento del blocco di reazione, rappresentato da un trasduttore in grado di trasformare la velocità angolare in una tensione Vf omogenea al segnale di riferimento VR;
  • Da1, Da2: disturbi che tendono a modificare le condizioni di funzionamento del sistema controllato.

Funzione di trasferimento del motore

G_{m}(s)=\frac{\Omega (s)}{V_{n}(s)}=\frac{\frac{1}{K_{E}}}{1+\tau _{m}s+\tau _{m}\tau _{e}s^{2}}

dove K_{E}=K\Phi

Supponiamo che il motore abbia queste caratteristiche:

  • potenza nominale Pn= 10 kW;
  • tensione nominale Vn= 220 V;
  • corrente nominale In= 50 A;
  • resistenza di indotto Ri= 0,33 Ω;
  • induttanza di indotto Li= 1 mH;
  • velocità nominale n= 3000 g/min (ωn= 314,1 rad/s);
  • momento di inerzia J= 0,082 Kgm2;
  • rendimento η= 0,85;

Ricordando che complessivamente il sistema è del secondo ordine, la condizione che assicura l’assenza di oscillazioni nella risposta al gradino, che in questa sede non dimostreremo, è τm > 4τe.

Determiniamo allora le costanti di tempo meccanica ed elettrica del nostro sistema.

\tau _{e}=\frac{L_{i}}{R_{i}}=\frac{10^{-3}}{0.33}=3.03 ms.

Per determinare la costante di tempo meccanica, si deve prima determinare il valore di K_{E}=K\Phi.

In condizioni statiche vale la relazione:
V_{n}=R_{i}I_{n}+K\Phi \omega _{n}

da cui si può ottenere
K_{E}=K\Phi= 0,648 Vs/rad.

Ora possiamo calcolare la costante di tempo meccanica:

\tau _{m}=\frac{R_{i}J}{(K\Phi )^{2}}\approx 64\; ms

Confrontando i valori trovati, si vede che la condizione τm > 4τe è largamente verificata.

Scomponendo il denominatore della Gm(s) e sostituendo i valori numerici, si ottiene:
\frac{\Omega (s))}{V_{n}(s))}=\frac{\frac{1}{0.648}}{(1+3\cdot 10^{-3}s)(1+64\cdot 10^{-3}s)}

Il guadagno statico è dunque (K\Phi )^{-1}=1.54

Funzione di trasferimento dell’amplificatore di potenza

Si utilizza un ponte trifase semicontrollato. Se si impone che la tensione massima di controllo dei diodi sia VG= 10 V, il guadagno statico dell’amplificatore di potenza vale:

K_{a}=\frac{V_{n}}{V_{G}}=\frac{220}{10}= 22

Se si assume come costante di tempo dell’amplificatore τa= 0.01 s, ovvero che vi sia un ritardo di 0.01 s tra l’applicazione del segnale di controllo dei diodi VG e la variazione della tensione di alimentazione del motore Vn, si ottiene per la funzione di trasferimento dell’amplificatore l’espressione:
G_{a}(s)=K_{a}\frac{1}{1+\tau _{a}(s)}= 22\: \frac{1}{1+0.01s}

Funzione di trasferimento della dinamo tachimetrica

Se adottiamo una dinamo con costante di tempo Kt= 0.5 Vs/rad, si ricava che la tensione prodotta alla massima velocità di rotazione prevista del motore, ovvero 314 rad/s, risulta:
V_{t}=K_{t}\omega _{n}=0.5\cdot 314=157\: V

Quindi è necessario ridurre la tensione Vt all’uscita della dinamo tachimetrica a un valore Vf dello stesso ordine di frandezza di VR che si suppone pari a 10 V. A tale scopo utilizziamo un potenziometro con rapporto di partizione:
\alpha =\frac{V_{f}}{V_{t}}=\frac{10}{157}=0.0637

dove con Vf si è indicata la tensione di uscita del potenziometro che, confrontata con il segnale di riferimento VR, genera il segnale differenza D.

In conclusione, la funzione di trasferimento del blocco di retroazione risulta:
H(s)=H=\alpha K_{t}=0.0637\cdot 0.5=0.0318

Progetto statico

In assenza di regolazione, la variazione di velocità da vuoto a carico può essere determinata attraverso la relazione:

\delta =\frac{R_{i}I_{n}}{V_{n}}\: 100=\frac{0.33\cdot 50}{220}\cdot 100=7.5%

Avendo previsto una precisione minima di regolazione ε=0.1%, il valore minimo del guadagno statico di anello risulta:

GH=\frac{\delta -\varepsilon }{\varepsilon }=\frac{7.5-0.1}{0.1}=74

avendo posto G=G_{e}(0)G_{a}(0)G_{m}(0)=G_{e}K_{a}(K\Phi )^{-1}.

Tale valore viene aumentato di solito di un 20\div 30%, per cui nel nostro caso si pone GH=100.

Il guadagno del regolatore proporzionale, cioè dell’amplificatore di segnale Gc, risulta dunque:

G_{c}=\frac{GH}{H\frac{1}{K\Phi }K_{a}}=\frac{100}{0.0318\cdot 1.54\cdot 22}=100

Lo schema a blocchi del sistema di controllo con le relative funzioni di trasferimento, trascurando l’effetto dei disturbi, è riportato in figura:

Schema a blocchi del sistema di controllo

Progetto dinamico

Il progetto dinamico comporta la verifica delle condizioni di stabilità del circuito di controllo. Lo schema a blocchi del sistema retroazionato e semplificato, è quello di figura:

dove:

G(s)=G{_{e}(s)}G{_{a}(s)}G_{m}(s)=\frac{3145}{(1+0.01s)(1+0.003s)(1+0.064s)}

e

H(s)=H=0.0318

Lo studio della stabilità del sistema si effettua prima di tutto tracciando il diagramma di Bode della funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)H per verificare se sia necessario l’inserimento di una rete compensatrice.

Diagrammi di Bode

Si vede che:

20\log (GH)=20\log 100=40\: dB

 \omega _{1}=\frac{1}{0.064}=15.625 rad/s

\omega _{2}=\frac{1}{0.01}=100\: rad/s

\omega _{3}=\frac{1}{0.003}=333.34\: rad/s

Dal diagramma del modulo si ricava il valore approssimato della pulsazione di cross-over \omega _{c}\simeq 326\: rad/s.

Per tale pulsazione possiamo calcolare la fase della funzione di trasferimento:

\varphi(\omega _{c})=-\arctan (0.01\cdot 326)-\arctan (0.064\cdot 326)-\arctan (0.003\cdot 326)\simeq -205^{\circ}

Quindi, essendo \varphi(\omega _{c})< - 180°, il sistema non è stabile. Sarà necessario ricorrere ad un circuito di compensazione.

Tra le varie possibilità, scegliamo una rete ritardatrice avente funzione di trasferimento:

G_{c}(s)=\frac{1+\frac{s}{\alpha \omega _{i}}}{1+\frac{s}{\omega _{i}}}

Volendo ottenere un margine di fase Mφ di circa 45°, calcoliamo la pulsazione alla quale arg[G(jω)H] assume il valore di -3π/4. Poi imporremo che tale risultato sia la nuova pulsazione di cross-over ω’c

Risolviamo l’equazione:

arg[G(jω)H]=-arctan(0.01ω)-arctan(0.064ω)-arctan(0.003ω)=-3π/4

Si ottiene ω=ω’c=86.3 rad/s.

Infine dalla relazione:

\alpha =\frac{1}{H\left | G(j\omega _{c}^{'}) \right |}

si ricava α=13. Dovendo poi essere αωi=0.1ω’c, si ottiene: ωi=0.66 rad/s.

L’espressione della funzione di trasferimento della rete compensatrice è allora:

G_{c}(s)=\frac{1+\frac{s}{8.63}}{1+\frac{s}{0.66}}=\frac{1+0.11s}{1+1.5s}}

La funzione di trasferimento ad anello aperto del sistema compensato vale allora:

G_{a}^{'}=G_{c}(s)G(s)H=\frac{100(1+0.116s)}{(1+0.01s)(1+0.003s)(1+0.064s)(1+1.5s)}

I diagrammi di Bode di quest’ultima funzione risultano quelli in figura:

Si può verificare che alla nuova pulsazione di cross-over ω’c, la fase della funzione di trasferimento ad anello aperto compensata vale circa -141°, per cui si ha un margine di fase di circa 39°.

Inconvenienti delle rete di compensazione

Concludiamo segnalando i due principali problemi indotti dalla nostra rete ritardatrice:

  • poichè la pulsazione di cross-over del sistema compensato è molto inferiore a quella del sistema in assenza di compensazione, \omega _{c}^{'}\ll \omega _{c}, la velocità di risposta del sistema ad anello chiuso sarà minore;
  • la risposta a un gradino di tensione VR e la variazione dell’uscita dovuta a un eventuale disturbo a gradino, presenteranno oscillazioni.

La soluzione a questi inconvenienti potrebbe essere il progetto di un regolatore da inserire nel sistema di controllo al posto della rete ritardatrice.

Modul Print
Informazioni su B2B Voice Team 69 Articoli
We are the B2B Voice magazine editorial team, a unique pool of copywriters and engineers to get you through technologies and their impact on your business. Need our expertise for an article or white paper? You can contact us pr@b2bvoice.com.